题目内容

已知数列{an}满足：a1=a+2（a≥0），an+1=
an+a
，n∈N*．
（1）若a=0，求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=|an+1-an|，数列的前n项和为Sn，证明：Sn＜a1．
（1）若a=0时，a1=2，an+1=
an
，
∴an+12=an且an＞0．
两边取对数，得2lgan+1=lgan，
∵lga1=lg2，
∴数列{lgan}是以lg2为首项，
1
2
为公比的等比数列，
∴lgan=(
1
2
)n-1lg2，即an=221-n；
（2）由an+1=
an+a
，得an+12=an+a，①
当n≥2时，
a2n
=an-1+a，②
①-②，得（an+1+an）（an+1-an）=an-an-1，
由已知可得an＞0，∴an+1-an与an-an-1同号，
∵a2=
2a+2
，且a＞0，∴
a21
-
a22
=（a+2）2-（2a+2）=a2+2a+2＞0恒成立，
∴a2-a1＜0，则an+1-an＜0．
∵bn=|an+1-an|，∴bn=-（an+1-an），
∴Sn=-[（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an+1-an）]=-（an+1-a1）=a1-an+1＜a1．
练习册系列答案
相关题目
数列{an}的前n项的和Sn=2an-1（n∈N*），数列{bn}满足：b1=3，Sn+1=an+bn（n∈N*）．
（1）求证：数列{an}为等比数列；
（2）求数列{bn}的前n项的和Tn．
等差数列{an}中，a3=4，a8=9，其前n项的和为Sn．
（1）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn；
（2）设bn=2an，求数列{bn}的通项公式bn及其前n项和Tn．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，a3=6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{
1
Sn
}的前n项和为Tn，求T2013的值．
设Sn等比数列{an}的前n项和，且a2=
1
9
，S2=
4
9

（1）求数列{an}的通项；
（2）设bn=
n
an
，求数列{bn}的前n项和Sn．
已知数列an的前项和Sn=2n+2-4(n∈N*)，函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，数列{bn}满足bn=f（0）+f（
1
n
）+f（
2
n
）…+f（
n-1
n
）+f（1）．
（1）分别求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn=an•bn，Tn是数列{cn}的前项和，是否存在正实数k，使不等式k（n2-9n+26）Tn＞4ncn对于一切的n∈N*恒成立？若存在请指出k的取值范围，并证明；若不存在请说明理由．
已知数列{an}的通项公式是an=
2
sin(
nπ
2
+
π
4
)．设其前n项和为Sn，则S12=______．
数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N+）．
（Ⅰ）证明数列{Sn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项an；
（Ⅲ）求数列{n•an}的前n项和Tn．
已知数列{an}满足：a1=1，an-an-1+2anan-1=0，(n∈N*，n＞1)
（Ⅰ）求证数列{
1
an
}是等差数列并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=anan+1，求证：b1+b2+…+bn＜
1
2
．

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