题目内容

已知:数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n,(n∈N*).
(Ⅰ)求:a1,a2的值;
(Ⅱ)求:数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)若数列{bn}的前n项和为Tn,且满足bn=nan,(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn
(Ⅰ)∵Sn=2an-n,
令n=1,解得a1=1;
令n=2,解得a2=3…(2分)
(Ⅱ)∵Sn=2an-n,
所以Sn-1=2an-1-(n-1),(n≥2)
两式相减得an=2an-1+1…(4分)
所以an+1=2(an-1+1),(n≥2)…(5分)
又因为a1+1=2
所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列…(6分)
所以an+1=2n,即通项公式an=2n-1…(7分)
(Ⅲ)∵bn=nan
所以bn=n(2n-1)=n•2n-n
所以Tn=(1•2-1)+(2•22-2)+…+(n•2n-n)
Tn=(1•2+2•22+…+n•2n)-(1+2+…+n)…(9分)
Sn=1•2+2•22+…+n•2n
2Sn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1
①-②得-Sn=2+22+…+2n-n•2n+1
=
2(1-2n)
1-2
-n•2n+1
…(11分)
Sn=2(1-2n)+n•2n+1=2+(n-1)•2n+1…(12分)
所以Tn=2+(n-1)•2n+1-
n(n+1)
2
…(13分)
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