题目内容

8．设命题p：方程x2+2ax+1=0有两个不相等的负根，命题q：不等式x2+2ax+2a≤0的解集为空集，若命题p∧q为假，命题p∨q为真，则a的取值范围为a≥2或0＜a≤1．

分析 分别求出命题p、q为真时a的范围，根据复合命题真值表知：若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则命题p、q一真一假，分别当p真q假时和当p假q真时a的范围，再求并集

解答 解：命题p为真命题时，△=4a2-4＞0且-2a＜0⇒a＞1；当命题q为真命题时，等式x2+2ax+2a＞0恒成立，⇒，△=4a2-8a＜0⇒0＜a＜2；
据复合命题真值表知：若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则命题p、q一真一假，
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≥2\\;或a≤0}\end{array}\right.$⇒a≥2；
当p假q真时，a≤1且0＜a＜2⇒0＜a≤1
综上实数a的取值范围是a≥2或0＜a≤1．

点评 本题考查了复合命题的真假判定，考查了一元二次方程根的分布及特称命题的真假判断，熟练掌握复合命题的真值表是解题的关键．属于基础题．

练习册系列答案
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