Question

13．已知函数f（x）=ax²-x+2，
（1）当a=1时，当x∈[1，+∞）时，求函数$\frac{f（x）}{x}$的最小值；
（2）解关于x的不等式f（x）-2ax≤0．

Answer 1

分析 （1）根据基本不等式即可求出函数的最小值，
（2）原不等式化为（x-2）（ax-1）≤0，再分类讨论即可求出不等式的解集．

解答 解：（1）a=1时，当x∈[1，+∞）时，函数$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-1≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$-1=2$\sqrt{2}$-1，当且仅当x=$\sqrt{2}$时取等号，
故函数$\frac{f（x）}{x}$的最小值为2$\sqrt{2}$-1，
（2）f（x）-2ax≤0，
即ax²-x+2-2ax≤0，
即（x-2）（ax-1）≤0，
当a=0时，解得x≥2，即解集为[2，+∞）
当a＜0时，解得x≤$\frac{1}{a}$或x≤2，即解集为（-∞，$\frac{1}{a}$]∪[2，+∞）
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，解得2≤x≤$\frac{1}{a}$，即解集为[2，$\frac{1}{a}$]
当a=$\frac{1}{2}$时，解得x=2，即解集为{2}
当a＞$\frac{1}{2}$时，解得得$\frac{1}{a}$≤x≤2，即解集为[$\frac{1}{a}$，2]

点评 本题考查了基本不等式的应用和含有参数的一元二次不等式的解法，属于中档题．