Question

18．在数列{a_n}中，若${a_1}=1，{a_{n+1}}=2{a_n}+3（{n∈{N^*}}）$，则数列的通项公式是a_n=2ⁿ⁺¹-3．

Answer 1

分析 把所给的递推式两边同时加上3，a_n+1+3=2a_n+6=2（a_n+3），提出公因式2后，得到连续两项的比值等于常数，新数列{a_n+3}是一个等比数列．问题获解．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+3，两边同时加上3，
得a_n+1+3=2a_n+6=2（a_n+3）
∴$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}$=2
由等比数列定义，
数列{a_n+3}是一个等比数列，首项a₁+3=4，公比为2
故数列{a_n+3}的通项公式是a_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-3，
故答案为：a_n=2ⁿ⁺¹-3

点评 本题考查由数列的递推式来证明数列的特殊性质，在整理这种递推式时，一般利用配凑的方法来确定两边的形式．