Question

18．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$（x∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义判断函数f（x）的单调性；
（3）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性求解即可，对于奇偶性的判断，只须考虑f（-x）与f（x）的关系即得；
（2）单调性的定义对于单调性的证明，先在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，再比较f（x₁）-f（x₂）即可；
（3）先依据函数y=f（x）在R上单调性化掉符号：“f”，将问题转化为关于m的整式不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求得m的取值范围

解答 解：（1）∵f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），∴函数f（x）为奇函数，
（2）证明：f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$．
∵x₁＜x₂，∴0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，从而f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函数f（x）在R上为单调增函数．
（3）由（2）得函数f（x）为奇函数，在R上为单调增函数，
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0即f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），1-m＜m²-1
∴原不等式的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法、函数的值域等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．