Question

已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋4(x∈R)在x＝2处取得极小值．

(1)若函数f(x)的极小值是－4，求f(x)；

(2)若函数f(x)的极小值不小于－6，问：是否存在实数k与函数f(x)，使得函数f(x)在[k，k＋3]上单调递减．若存在，求出k的取值集合与f(x)；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝3x²＋2ax＋b，

由解得检验可知，满足题意，

故f(x)＝x³－2x²－4x＋4(x∈R)．

(2)假设存在实数k，使得函数f(x)在[k，k＋3]上单调递减．

设f′(x)＝3x²＋2ax＋b＝0的两根为x₁，x₂(x₁<x₂)，则x₂＝2.由f′(x)<0，得x∈(x₁，x₂)，∴f(x)的单调递减区间为[x₁，x₂]．

由x₁＋2＝－，解得x₁＝－－2，∴f(x)的单调递减区间为

由条件有

∴函数f(x)在[－1,2]上单调递减．

k＝－1，

∴存在实数k＝－1，满足题意．

∴k的取值集合是{－1}，f(x)＝x³－x²－6x＋4.