Question

设P：指数函数y=a^x在x∈R内单调递减；Q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果P为真，Q为假，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：阅读型

分析：利用指数函数的单调性及曲线相交的条件，分别求出命题命题P为真和命题Q为假时a的取值范围，再求交集．

解答： 解：∵当0＜a＜1时，指数函数y=a^x在R内单调递减；
∴命题P为真，则0＜a＜1；
曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴有两个不同的交点?△=（2a-3）²-4＞0，
即a＜

1

2

或a＞

5

2

．
∴命题Q为假，则

1

2

≤a≤

5

2

，
∴P为真，Q为假，a的取值范围为[

1

2

，1）．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了指数函数的单调性及曲线的交点问题，熟练掌握指数函数的单调性及曲线相交的条件是解题的关键．