Question

已知函数f(x)＝xln x.

(1)求f(x)的单调区间和极值；

(2)设A(x₁，f(x₁))，B(x₂，f(x₂))，且x₁≠x₂，证明：

Answer 1

解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝ln x＋x·＝1＋ln x.

令f′(x)>0，则ln x>－1＝ln ，∴x>；令f′(x)<0，则ln x<－1＝ln ，∴0<x<，

∴f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，

f(x)_极小值＝f＝ln ＝－，f(x)无极大值．

(2)不防设x₁<x₂，

＝ln ＋

＝ln －，

令＝x(x>0)，h(x)＝ln(1＋x)－x，

则h′(x)＝，h(x)在(0，＋∞)上单调递减，

∴h(x)<h(0)＝0，

即ln (1＋x)<x，即g′(t)＝恒成立，

∴g(t)在(1，＋∞)上是减函数，∴g(t)<g(1)＝0，