Question

对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为不等函数．
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
已知函数g（x）=x³与h（x）=2^x-a是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为不等函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是不等函数，求实数a组成的集合．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据不等函数的定义和条件进行判断即可；
（2）根据h（x）是不等函数，验证两个条件即可．

解答： 解：（1）当x∈[0，1]时，总有g（x）=x³≥0，满足①；
当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，
g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）³=

x

3 1

+

x

3 2

+3

x

2 1

•x₂+3x₁•

x

2 2

≥

x

3 1

+

x

3 2

=g（x₁）+g（x₂），满足②，
所以函数g（x）是不等函数．
（2）h（x）=2^x-a（x∈[0，1]）为增函数，h（x）≥h（0）=1-a≥0，所以a≤1．
由h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），得2x1+x2-a≥2x1-a+2x2-a，
即a≥2x1+2x2-2x1+x2=1-（2x1-1）（2x2-1）．
因为x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
所以0≤2x1-1≤1，0≤2x2-1≤1，x₁与x₂不同时等于1，
所以0≤（2x1-1）（2x2-1）＜1，所以0＜1-（2x1-1）（2x2-1）≤1．
当x₁=x₂=0时，[1-（2x1-1）（2x2-1）]_max=1，
所以a≥1．
综合上述，a∈{1}．

点评：本题主要考查函数的应用，根据不等函数的定义，进行推理是解决本题的关键．考查学生的推理能力．