Question

2．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-a{x^2}+bx$（a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．
（1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）-4x，x∈[-3，2]，求g（x）的单调区间和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（0）=f′（2）=1，得到关于a，b的方程组，解出即可求出f（x）的解析式，从而求出切线方程即可；
（2）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）因为f′（x）=x²-2ax+b，
由f′（0）=f′（2）=1即$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ 4-4a+b=1\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}\right.$，
则f（x）的解析式为$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+x$，即有f（3）=3，f′（3）=4
所以所求切线方程为4x-y-9=0．
（2）由（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+x，
∴$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x$，∴g′（x）=x²-2x-3，
由g′（x）=x²-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
由g′（x）=x²-2x-3＜0，得-1＜x＜3，
∵x∈[-3，2]，
∴g（x）的单调增区间为[-3，-1]，减区间为（-1，2]，
∵$g（-3）=-9＜g（2）=-\frac{22}{3}$，
∴g（x）的最小值为-9．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及求切线方程问题，是一道中档题．