Question

12．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+3≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，若目标函数z=kx+y的最大值为9，则实数k的值为-5或2．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=kx+y得y=-kx+z，
则直线截距最大时，z最大，
∵目标函数z=kx+y的最大值为9，
∴y+kx=9，即y=-kx+9，
则目标函数过定点（0，9），
当k=0时，y=z，此时直线过点A时，直线的截距最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-y+3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，即A（2，5），
此时最大值z=5不满足条件．
当k＞0时，目标函数的斜率为-k＜0，
平移直线y=-kx+z，则直线经过点A（2，5）时，截距最大，
此时z=9=2k+5，得2k=4，k=2，
当k＜0时，目标函数的斜率为-k＞0，
平移直线y=-kx+z，则直线经过点C时，截距最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+3=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即C（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）
此时z=9=-$\frac{3}{2}$k+$\frac{3}{2}$，得-3k=15，得k=-5，满足条件．
综上k=-5或k=2，
故答案为：-5或2

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．注意本题要对k进行分类讨论．