Question

8．已知函数f（x）=ae^x+（2-e）x（a为实数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线（3-e）x-y+10=0平行．
（1）求实数a的值，并判断函数f（x）在区间[0，+∞）内的零点个数；
（2）证明：当x＞0时，f（x）-1＞xln（x+1）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的解析式，求出函数的单调区间，从而判断函数的零点即可；
（2）问题等价于$\frac{f（x）-1}{x}＞ln（x+1）$，记g（x）=e^x-（x+1），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）f'（x）=ae^x+2-e，由题设，可知曲线y=f（x）在x=0处的切线的斜率k=f'（0）=a+2-e=3-e，解得a=1，
∴f（x）=e^x+（2-e）x，
∴当x≥0时，f'（x）=e^x+2-e≥e⁰+2-e＞0，
∴f（x）在区间[0，+∞）内为增函数，
又f（0）=1＞0，∴f（x）在区间[0，+∞）内没有零点．
（2）当x＞0时，f（x）-1＞xln（x+1）等价于$\frac{f（x）-1}{x}＞ln（x+1）$，记g（x）=e^x-（x+1），
则g'（x）=e^x-1，当x＞0时，g'（x）＞0，
∴当x＞0时，g（x）在区间（0，+∞）内单调递增，
∴g（x）＞g（0）=0，即e^x＞x+1，两边取自然对数，得x＞ln（x+1）（x＞0），
∴要证明$\frac{f（x）-1}{x}＞ln（x+1）$（x＞0），只需证明$\frac{f（x）-1}{x}＞x$（x＞0），
即证当x＞0时，e^x-x²+（2-e）x-1≥0，①
设h（x）=e^x-x²+（2-e）x-1，则h'（x）=e^x-2x+2-e，令ϕ（x）=e^x-2x+2-e，
则ϕ'（x）=e^x-2，当x∈（0，ln2）时，ϕ'（x）＜0；当x∈（ln2，+∞）时，ϕ'（x）＞0．
∴ϕ（x）在区间（0，ln2）内单调递减，在区间（ln2，+∞）内单调递增，
又ϕ（0）=3-e＞0，ϕ（1）=0，0＜ln2＜1，
∴ϕ（ln2）＜0，∴存在x₀∈（0，1），使得ϕ（x₀）=0，
∴当x∈（0，x₀）∪（1，+∞）时，ϕ（x）＞0；
当x∈（x₀，1）时，φ（x）＜0，∴h（x）在区间（0，x₀）内单调递增，
在区间（x₀，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增，
又h（0）=h（1）=0，∴h（x）=e^x-x²+（2-e）x-1≥0，
当且仅当x=1时，取等号，即①式成立，
∴f（x）-1＞xln（x+1）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道综合题．