Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，M是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且MF₁F₂的周长为4+2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O：x²+y²=

4

3

上动点P（x₀，y₀）（x₀•y₀≠0）处的切线，l与椭圆C交与不同的两点Q，R，证明：∠QOR=

π

2

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由题意可得：

b=c 2a+2c=4+2 2 a2=b2+c2

，解得即可；
（II）设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）．设直线l的方程为y-y₀=k（x-x₀）．由于直线与圆O：x²+y²=

4

3

相切，可得

|y0-kx0|

1+k2

=

4 3

．化为(y0-kx0)2=

4

3

(1+k2)．直线方程与椭圆方程联立可得（1+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2(y0-kx0)2-4=0，利用根与系数的关系可得y₁y₂．只要证明

OQ

•

OR

=0即可．

解答： 解：（I）由题意可得：

b=c 2a+2c=4+2 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=c=

2

．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）证明：设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）．
设直线l的方程为y-y₀=k（x-x₀），
化为kx-y+y₀-kx₀=0，
∵直线与圆O：x²+y²=

4

3

相切，
∴

|y0-kx0|

1+k2

=

4 3

．化为(y0-kx0)2=

4

3

(1+k2)．
联立

y-y0=k(x-x0) x2+2y2=4

，化为（1+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2(y0-kx0)2-4=0，
∴x₁+x₂=-

4k(y0-kx0)

1+2k2

，x₁x₂=

2(y0-kx0)2-4

1+2k2

．
∴y₁y₂=（kx₁+y₀-kx₀）（kx₂+y₀-kx₀）=k²x₁x₂+k（y₀-kx₀）（x₁+x₂）+(y0-kx0)2．
∴

OQ

•

OR

=x₁x₂+y₁y₂=(1+k2)×

2(y0-kx0)2-4

1+2k2

+

-4k2(y0-kx0)2

1+2k2

+(y0-kx0)2
=

(y0-kx0)2(2+2k2-4k2+1+2k2)-4(1+k2)

1+2k2

，
其分子=

4

3

(1+k2)×3-4（1+k²）=0，
∴

OQ

⊥

OR

．
∴∠QOR=

π

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、直线与圆相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．