Question

用数学归纳法证明：1²-2²+3²-4²+…+（-1）^-1•n²=（-1）^n-1•

n(n+1)

2

．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题

分析：用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论．

解答： 证明：用数学归纳法证明：1²-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1•n²=（-1）^n-1•

n(n+1)

2

．
（1）当n=1时，左边=1，右边=（-1）⁰

1(1+1)

2

=1，
故左边=右边，
∴当n=1时，等式成立；（3分）
（2）假设n=k时，等式成立，即 1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²=（-1）^k-1•

k(k+1)

2

．（6分）
那么1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²+（-1）^k•（k+1）²
=（-1）^k-1•

k(k+1)

2

+（-1）^k•（k+1）²
=（-1）^k

k+1

2

（-k+2k+2）
=（-1）^（k+1）-1

(k+1)[(k+1)+1]

2

即当n=k+1时，等式也成立． （10分）
根据（1）和（2）可知等式对任何n∈N₊都成立． （12分）

点评：本题考查数学归纳法的思想，应用中要注意的是用上归纳假设的结论，否则会导致错误．属于中档题．