Question

设tan

θ

2

=t．
（1）求证：

1+sinθ

1+sinθ+cosθ

=

1

2

(t+1)；
（2）当tan(

π

2

+2θ)=

3

4

时，利用以上结果求

1-sin4θ

1-sin4θ-cos4θ

的值．

Answer 1

考点：三角函数的恒等变换及化简求值

专题：综合题

分析：（1）利用万能公式用tan

θ

2

分别表示出sinθ和cosθ，代入整理可证明原式．
（2）利用诱导公式和（1）中的结论，整理成tan(

π

2

+2θ)的形式，最后代入即可．

解答： 解：（1）证明：由sinθ=

2tan θ 2

1+tan2 θ 2

及cosθ=

1-tan2 θ 2

1+tan2 θ 2

得1+sinθ=

(1+tan θ 2 )2

1+tan2 θ 2

=

(1+t)2

1+t2

，1+sinθ+cosθ=

2(1+tan θ 2 )

1+tan2 θ 2

=

2(1+t)

1+t2

故

1+sinθ

1+sinθ+cosθ

=

1

2

(t+1)．
（2）解：由（1）及tan(

π

2

+2θ)=

3

4

得

1-sin4θ

1-sin4θ-cos4θ

=

1+sin(π+4θ)

1+sin(π+4θ)+cos(π+4θ)

=

1

2

[tan(

π

2

+2θ)+1]=

7

8

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换及化简求值．考查了学生对公式的正用，逆用和变形用．