Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ABB₁⊥平面ABC，O是AB的中点．
（Ⅰ）若点D是CC₁中点，求证：OD∥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）若AA₁=A₁B=AC=BC=2，AA₁与平面ABC所成的角为

π

4

，求多面体A₁C₁CAB的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取BC中点E，连结OD、DE、OE，由三角形中位线定理能证明平面ODE∥平面A₁C₁B，从而得到OD∥平面A₁C₁B．
（Ⅱ）连接OA₁，多面体A₁C₁CAB的体积为

1

3

CA•CB•A1O-

1

3

•

1

2

•CA•CB•A1O．

解答： （Ⅰ）证明：取BC中点E，连结OD、DE、OE，
∵DE是△BCC₁的中位线，∴DE∥BC₁，
∵OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，又AC∥A₁C₁，∴OE∥A₁C₁，
∴平面ODE∥平面A₁C₁B，
∵OD?平面ODE，∴OD∥平面A₁C₁B．
（Ⅱ）解：连接OA₁，
∵AA₁=A₁B，O是AB的中点，∴A₁O⊥AB，
又平面A₁ABB₁⊥平面ABC，∴A₁O⊥平面ABC，
则AA₁与平面ABC所成的角为∠A₁AB=45°，
∴A₁O=

2

，AB=2

2

，
∵AC=BC=2，
∴AC⊥BC，
∴多面体A₁C₁CAB的体积为

1

3

CA•CB•A1O-

1

3

•

1

2

•CA•CB•A1O=

1

3

•2•2•

2

=

4 2

3

．

点评：本题考查直线与平面平行，考查多面体A₁C₁CAB的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．