Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2

5

，PD=4

2

．E是PD的中点．
（1）PB∥平面ACE；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）求四面体PACE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接BD，AC∩BD=0，则O是BD的中点，利用OE是中位线，所以PB∥OE．因为PB?平面ACE，OE?平面ACE，所以PB∥平面ACE；
（2）根据边的长度关系可知三角形PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD，同理PA⊥AB，又AD∩AB=A，满足线面垂直的判断定理，则PA⊥平面ABCD，根据线面垂直得到面面垂直，再由面面垂直得到线线垂直，即CD⊥AE，因为E是PD的中点，三角形PAD是等腰直角三角形，从而AE⊥PD，又PD∩CD=D，满足线面垂直的判定定理可得结论．
（3）四面体PACE的体积为V_A-PCE，即可求解．

解答： （1）证明：连接BD，AC∩BD=0，则O是BD的中点，
因为E是PD的中点，
所以PB∥OE
因为PB?平面ACE，OE?平面ACE，
所以PB∥平面ACE；
（2）因为PA²+AD²=4²+4²=32，PD²=（4

2

）²=32，
所以三角形PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD．
同理PA²+AB²=4²+2²=20，PB²=（2

5

）²=20，
所以三角形PAB是直角三角形，所以PA⊥AB．
又AD∩AB=A，所以PA⊥平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD．
因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，
因为AE?平面PAD，
所以CD⊥AE．
因为E是PD的中点，三角形PAD是等腰直角三角形，
所以AE⊥PD．
又PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD．
（3）解：四面体PACE的体积为V_A-PCE=

1

3

•

1

2

•2

2

•2•2

2

=

8

3

．

点评：证明线面平行只要在平面内找到一条直线与已知直线平行即可，证明面与面垂直只要证明其中一个平面过另一个平面的垂线即可，求三棱锥的体积关键是找到一个高并且简单易求．