Question

9．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（3-a）x-3，x≤7}\\{{a^{x-6}}，x＞7}\end{array}}\right.$，数列{a_n}满足：a_n=f（n）（n∈N^*），且对于任意的正整数m，n，都有$\frac{{{a_m}-{a_n}}}{m-n}＞0$，则实数a的取值范围是（2，3）．

Answer 1

分析 由题意得到数列{a_n}是递增数列，即可得到1＜a＜3且f（7）＜f（8），解得即可．

解答 解：∵数列{a_n}满足：a_n=f（n）（n∈N^*），且对于任意的正整数m，n，都有$\frac{{{a_m}-{a_n}}}{m-n}＞0$，
∴数列{a_n}是递增数列，
∴1＜a＜3且f（7）＜f（8），
∴7（3-a）-3＜a²，解得a＜-9或a＞2，
故实数a的取值范围是（2，3）．
故答案为（2，3）

点评 本题考查了数列的函数特征和分段函数的性质，属于中档题．