Question

4．设f（x）=e^x（-x²+x+1），且对?$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$，|f（cosθ）-f（sinθ）|≤b恒成立，则b的最小值为（　　）

• A． e-1
• B． e
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由题意：对?$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$，令m=cosθ，在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是单调递减．∴f（m）在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是单调递减．令n=sinθ在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是单调递增．f（n）在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是单调递增．
当θ=0时，m取得最大值为1，n取值最小值为0，所以y=[f（cosθ）-f（sinθ）]是减函数，即可y的最大时θ=0，求解出b的最小值．

解答 解：由题意：f（x）=e^x（-x²+x+1），
对?$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$，
令m=cosθ，在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是单调递减．
∴f（m）在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是单调递减．
令n=sinθ在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是单调递增．
f（n）在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是单调递增．
当θ=0时，m取得最大值为1，
n取值最小值为0，
那么|f（cosθ）-f（sinθ）|=|f（1）-f（0）|=|e-1|
要使|f（cosθ）-f（sinθ）|≤b恒成立，
只需|e-1|≤b，
解得：b≥e-1，
所以b的最小值e-1．
故选A．

点评 本题本题主要考查了函数恒成立问题的求解，利用复合函数的性质及单调性的应用．属于中档题．