Question

一个三次函数y=f（x），当x=3时取得极小值y=0，又在此函数的曲线上点（1，8）处的切线经过点（3，0），求函数f（x）的表达式．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：设f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），求出导数，由题意可得f（3）=0，f′（3）=0，f（1）=8，f′（1）=

8-0

1-3

=-4，列出a，b，c，d的四个方程，通过消元，解方程，即可得到f（x）的解析式，注意检验极值．

解答： 解：设f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
则f′（x）=3ax²+2bx+c，
当x=3时取得极小值y=0，
则有f（3）=0，即27a+9b+3c+d=0①
f′（3）=0，即有27a+6b+c=0②
在此函数的曲线上点（1，8）处的切线经过点（3，0），
则有f（1）=8，即a+b+c+d=8③
f′（1）=

8-0

1-3

=-4，即3a+2b+c=-4④
①-③可得，13a+4b+c=-4，⑤
②-④，得6a+b=1，
④-⑤得，b=-5a，
综上，解得a=1，b=-5，c=3，d=9．
则f（x）=x³-5x²+3x+9．
由于f′（x）=3x²-10x+3，
当x＞3或x＜

1

3

时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当

1

3

＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）递减．
则当x=3时取得极小值．
故有f（x）=x³-5x²+3x+9．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间和极值，主要考查解方程的化简运算能力，属于中档题．