Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长均为a，D、E分别为C₁C与AB的中点，A₁B交AB₁于点G．
（1）求证：A₁B⊥AD；
（2）求证：CE∥平面AB₁D．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接A₁D，BD，由A₁ABB₁为正方形，得A₁B⊥AB₁，A₁D=BD，从而A₁B⊥DG，进而A₁B⊥平面AB₁D，由此能证明A₁B⊥AD．
（2）连接GE，GD，则GE⊥平面ABC，GE∥DC，四边形GECD为平行四边形，由此能证明EC∥平面AB₁D．

解答： 证明：（1）连接A₁D，BD，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是棱长均为a的正三棱柱，
∴A₁ABB₁为正方形，∴A₁B⊥AB₁，
∵D是C₁C的中点，∴△A₁C₁D≌△BCD，∴A₁D=BD，
∵G是A₁B中点，∴A₁B⊥DG，
又∵DG∩AB₁=G，∴A₁B⊥平面AB₁D，
又∵AD?平面AB₁D，∴A₁B⊥AD．
（2）连接GE，GD，∵EG∥A₁A，∴GE⊥平面ABC，
∵DC⊥平面ABC，∴GE∥DC，
∵GE=DC=

1

2

a，
∴四边形GECD为平行四边形，
∴EC∥GD，
又∵EC?平面AB₁D，DG?平面AB₁D，
∴EC∥平面AB₁D．

点评：本小题主要线线垂直、线面平行、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．