Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，且2T_n=4S_n-（n²+n），n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=

n+1

an+1

，证明：b₁+b₂+…+b_n＜3．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）S_n=T_n-T_n-1，从而S_n-1=2S_n-2+（n-1）．故S_n-S_n-1=2（S_n-1-S_n-2）+1，即a_n=2a_n-1+1．显然有a_n+1=2（a_n-1+1）；
（Ⅱ）根据题意可得Sn=1+

3

4

+

4

8

+

5

16

+…+

n+1

2n

，

1

2

Sn=

2

4

+

3

8

+

4

16

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

，两者相减，再放缩即可．

解答： 证明：（Ⅰ）∵2T_n=4S_n-（n²+n），
∴2T1=4S1-(12+1)
即a₁=1．
S_n=T_n-T_n-1
=2Sn-

n2+n

2

-2Sn-1+

(n-1)2+(n-1)

2

，
整理，得S_n=2S_n+n，
从而S_n-1=2S_n-2+（n-1）．
故S_n-S_n-1=2（S_n-1-S_n-2）+1，
即a_n=2a_n-1+1．
显然有a_n+1=2（a_n-1+1）．
所以数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=

n+1

2n

，
则Sn=1+

3

4

+

4

8

+

5

16

+…+

n+1

2n

    …①

1

2

Sn=

2

4

+

3

8

+

4

16

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

  …②
则①-②：

1

2

Sn=1+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+1

＜1+

1

2

，
故S_n＜3．
所以b₁+b₂+…+b_n＜3．

点评：本题是数列与函数、不等式相结合的综合题，主要考查错位相减法和放缩法，难度较大，考查了分析问题与解决问题的能力．