Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=

3

x，有焦点F到直线x=

a2

c

的距离为

3

2

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线与曲线C相较于B，D两点，已知A（1，0），若

DF

•

BF

=1，证明：过A．B．D三点的圆与x轴相切．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的标准方程

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）依题意有

b

a

=

3

，c-

a2

c

=

3

2

，由a²+b²=c²，可解得a，c，b²的值，即可得解．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，则B（x₁，x₁+m），D（x₂，x₂+m），BD的中点为M，由

y=x+m x2- y2 3 =1

 又

DF

•

BF

=1，可得

DA

•

BA

=0，即AD⊥AB，又过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，可得MA=

1

2

BD，从而可证过A、B、D三点的圆与x轴相切．

解答： 解：（Ⅰ）依题意有

b

a

=

3

，c-

a2

c

=

3

2

，
∵a²+b²=c²
∴c=2a
∴a=1，c=2
∴b²=3
∴曲线C的方程为x²-

y2

3

=1                        

（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，则B（x₁，x₁+m），D（x₂，x₂+m），BD的中点为M，
由

y=x+m x2- y2 3 =1

 得 2x²-2mx-m²-3=0
∴x₁+x₂=m，x₁x₁=-

m2+3

2

∵

DF

•

BF

=1，即（2-x₁）（2-x₂）+（x₁+m）（x₂+m）=1，
∴m=0（舍）或m=2
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-

7

2

 M点的横坐标为

x1+x2

2

=1
∵

DA

•

BA

=（1-x₁）（1-x₂）+（x₁+2）（x₂+2）=5+2x₁x₂+x₁+x₂=5-7+2=0
∴AD⊥AB
∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径
∵M点的横坐标为1
∴MA⊥x，
∵MA=

1

2

BD，
∴过A、B、D三点的圆与x轴相切

点评：本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．