Question

已知函数f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx-

1

2

（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=

7

，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；
（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可．

解答： 解：f（x）=

3

2

sin2ωx-

1

2

（1+cos2ωx）-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-1，
∵f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴

2π

2ω

=π，即ω=1，
则f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，
（Ⅰ）令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，即sin（2x-

π

6

）=1，
∴2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

，
把sinB=3sinA代入得：b=3a，
由余弦定理及c=

7

得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+9a2-7

6a2

=

1

2

，
整理得：10a²-7=3a²，
解得：a=1，
则b=3．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．