Question

若函数f（x）满足：存在T∈R，T≠0，对定义域内的任意x，f（x+T）=f（x）+f（T）恒成立，则称f（x）为T函数．现给出下列函数：
①y=

1

x

； 
②y=2^x；
③y=1nx；
④y=sinx；
⑤y=x²
其中为T函数的序号是

 

．（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,新定义,函数的性质及应用

分析：由条件令x=0，可得：f（0+T）=f（0）+f（T），则f（0）=0；f（T）是常数．
若f（T）＞0，则函数是增函数；若f（T）=0，则函数是周期函数；若f（T）＜0，则函数是减函数；
通过赋值法，求出f（0）的函数值，逐一判断5个函数即可判断①②③⑤不正确，④正确．

解答： 解：函数f（x）满足：存在T∈R，T≠0，对定义域内的任意x，f（x+T）=f（x）+f（T）恒成立，
令x=0，可得：f（0+T）=f（0）+f（T），∴f（0）=0；f（T）是常数．
若f（T）＞0，则函数是增函数；
若f（T）=0，则函数是周期函数；
若f（T）＜0，则函数是减函数；
①y=

1

x

；x=0函数没有意义，在定义域内，不是增函数、减函数、周期函数，∴①不正确； 
②y=e^x；f（0）=1，②不正确；
③y=lnx；x=0函数没有意义，函数是增函数，但是从变化趋势看不是线性关系，∴③不正确；
④y=sinx；f（0）=0，并且函数是周期函数，符合题意；④正确．
⑤y=x²；f（0）=0，在定义域内，不是增函数、减函数、周期函数，⑤不正确．
综上所述，属于为T函数的序号是④．
故答案为：④．

点评：本题考查抽象函数的应用，考查函数的周期性、单调性，新定义的理解与掌握是解题的关键，同时注意特值法的应用．