Question

15．从0，1，2，3，4，5这六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：
（1）能组成多少个不同的四位数？
（2）四位数中，两个偶数排在一起的有几个？（所有结果均用数值表示）

Answer 1

分析 （1）根据题意，分2种情况讨论：①、取出的2个偶数不含0，②、取出的2个偶数含0，每种情况下先计算偶数、奇数的取法数目，再分析偶数、奇数之间的顺序，计算可得每种情况的四位数数目，由加法原理计算可得答案；
（1）根据题意，分2种情况讨论：①、取出的2个偶数不含0，用捆绑法分析可得四位数数目，②、取出的2个偶数含0，用间接法分析可得此时四位数数目，由加法原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，分2种情况讨论：
①、取出的2个偶数不含0，
偶数的取法有1种，奇数的取法有C₃²=3种，
将取出的4个数字全排列，有A₄⁴=24种情况，
则此时的四位数的数目有3×24=72个；
②、取出的2个偶数含0，
另一个偶数的取法有2种，奇数的取法有C₃²=3种，
除0之外的三个数中任选1个，安排在首位，有3种情况，
将剩余的3个数字全排列，有A₃³=6种情况，
则此时的四位数的数目有2×3×3×6=108个；
则可以有72+108=180个不同的四位数；
（2）根据题意，分2种情况讨论：
①、取出的2个偶数不含0，
偶数的取法有1种，奇数的取法有C₃²=3种，
将2个偶数看成一个整体，考虑其顺序，有A₂²=2种情况，
将这个整体与2个奇数全排列，有A₃³=6种情况，
则此时的四位数的数目有3×2×6=36个；
②、取出的2个偶数含0，
另一个偶数的取法有2种，奇数的取法有C₃²=3种，
将2个偶数看成一个整体，考虑其顺序，有A₂²=2种情况，
将这个整体与2个奇数全排列，有A₃³=6种情况，
其中0在首位的情况有2×3×2=6种，
则此时的四位数的数目有2×3×2×6-6=60个；
则可以有36+60=96个不同的四位数．

点评 本题考查排列、组合的综合应用，注意四位数的首位数字不能为0，在取出偶数时需要分类讨论．