Question

6．如图，已知三棱锥S-ABC的三条侧棱长均为10，若∠BSC=α，∠CSA=β，∠ASB=γ且sin²$\frac{α}{2}+{sin^2}\frac{β}{2}={sin^2}\frac{γ}{2}$．
（1）求证：平面SAB⊥平面ABC
（2）若α=$\frac{π}{3}，β=\frac{π}{2}，γ=\frac{2π}{3}$，求三棱锥S-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，S在底面的射影O为△ABC的外心，从而SO⊥平面ABC，由此能证明平面SAB⊥平面ABC．
（2）分别求出S_△ABC和SO，由此能求出三棱锥S-ABC的体积．

解答 证明：（1）∵三棱锥S-ABC的三条侧棱长均为10，
∠BSC=α，∠CSA=β，∠ASB=γ且sin²$\frac{α}{2}+{sin^2}\frac{β}{2}={sin^2}\frac{γ}{2}$．
∴在$△ABS中，A{B^2}=200-200cosγ=200（1-cosγ）=400{sin^2}\frac{γ}{2}$．
同理$A{C^2}=400{sin^2}\frac{β}{2}，BC=400{sin^2}\frac{α}{2}$．
∵${sin^2}\frac{α}{2}+{sin^2}\frac{β}{2}={sin^2}\frac{γ}{2}$，
∴AC²+BC²+AB²，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．
又SA=SB=SC=10，则S在底面的射影O为△ABC的外心，
由△ABC是直角三角形知O为斜边AB的中点．
∴SO⊥平面ABC，
∵SO?平面SAB．∴平面SAB⊥平面ABC．
解：（2）∵α=$\frac{π}{3}，β=\frac{π}{2}，γ=\frac{2π}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC•BC=200sin\frac{α}{2}sin\frac{β}{2}=50\sqrt{2}$．
∴$SO=\sqrt{S{A^2}-A{O^2}}=100cos\frac{γ}{2}=50$，
∴三棱锥S-ABC的体积$V=\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×SO$=$\frac{1}{3}×50\sqrt{2}×50$=$\frac{250\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．