Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x

+b在点（1，3）处与y轴垂直．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由条件可得f′（1）=0且f（1）=3，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，求出极值点，列表分析函数在[

1

2

，2]上的单调区间和极值，从而得到最小值和最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由于f（x）=lnx+

a

x

+b，
则f′(x)=

1

x

-

a

x2

，
则

f′(1)=0 f(1)=3

⇒

1-a=0 a+b=3

，
解得

a=1 b=2

；
（Ⅱ）由于f(x)=lnx+

1

x

+2，
则f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

由f'（x）=0⇒x=1，
列表如下

x	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，2）	2
y'		-	0	+
y	4-ln2	单调递减	极小值	单调递增	5 2 +ln2

当x=1时，f（x）取得极小值即最小值：f（x）_min=f（1）=3，
由于f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-2ln2=lne

3

2

-ln4=ln

e 3 2

4

＞0，
当x=

1

2

时，f（x）取得最大值f(x)max=f(

1

2

)=4-ln2．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．