Question

若斜率互为相反数且相交于点P（1，1）的两条直线被圆O：x²+y²=4所截的弦长之比为

6

2

，则这两条直线的斜率之积为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：设这两条直线的斜率分别为k、-k，利用点斜式求得两条弦所在的直线方程，求出各自的弦心距，再结合弦长之比为

6

2

得到关于k的一元二次方程，求出k的值，即可求得方程的两根之积．

解答： 解：设这两条直线的斜率分别为k、-k，
则这两条直线的方程分别为m：y-1=k（x-1），n：y-1=-k（x-1），
即m：kx-y+1-k=0，n：kx+y-1-k=0．
圆心O到直线m的距离为d=

|0+0+1-k|

k2+1

=

|k-1|

k2+1

，可得弦长为2

4- (k-1)2 k2+1

．
圆心O到直线n的距离为d′=

|0+0-1-k|

k2+1

=

|k+1|

k2+1

，可得弦长为2

4- (k+1)2 k2+1

．
再由弦长之比为

2 4- (k-1)2 k2+1

2 4- (k+1)2 k2+1

=

6

2

，即

3k2+2k+3 3k2-2k+3

=

6

2

，可得3k²-10k+3=0．
求得k=3，或 k=-

1

3

，
∴当k=3时，这两条直线的斜率之积为3×（-3）=-9；
当 k=-

1

3

 时，两条直线的斜率之积为-

1

3

×

1

3

=-

1

9

，
故答案为：-9或-

1

9

．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，韦达定理，弦长公式，属于中档题．