题目内容
将y=lnx绕原点O旋转角θ，第一次与y轴相切，求sin2θ．
考点：二倍角的正弦,对数函数的图像与性质
专题：函数的性质及应用
分析：设y=lnx的图象的切线的斜率为k，切点坐标为（x0，y0），由题意可得 k=
=
，求得x0=e．再由tanθ=
=
=x0=e，根据万能公式即可得出结论．
| lnx0 |
| x0 |
| 1 |
| x0 |
| sinθ |
| cosθ |
| 1 |
| k |
解答：
解：设y=f（x）=lnx的图象的切线的斜率为k，
设切点坐标为（x0，y0），
则由题意可得，切线的斜率为：k=
=
，再由导数的几何意义可得 k=f′（x0）=
，
∴
=
，
∴x0=e．
再由θ的意义可得，lnx的图象的切线逆时针旋转角θ后落在了y轴上，
故有tanθ=
=
=x0=e，
∴sin2θ=
=
．
设切点坐标为（x0，y0），
则由题意可得，切线的斜率为：k=
| y0 |
| x0 |
| lnx0 |
| x0 |
| 1 |
| x0 |
∴
| lnx0 |
| x0 |
| 1 |
| x0 |
∴x0=e．
再由θ的意义可得，lnx的图象的切线逆时针旋转角θ后落在了y轴上，
故有tanθ=
| sinθ |
| cosθ |
| 1 |
| k |
∴sin2θ=
| 2tanθ |
| 1+tan2θ |
| 2e |
| 1+e2 |
点评：本题主要考查函数的导数的意义及其应用，直线的斜率公式，函数图象的变化，考查了同角三角函数关系式，万能公式的应用，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
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已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若
+
=
+
，则点P与△ABC的位置关系是（ ）
| PA |
| PB |
| PC |
| AB |
| A、点P在△ABC内部 |
| B、点P在△ABC外部 |
| C、点P在直线AB上 |
| D、点P在直线AC上 |
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则公差d等于（ ）
| A、-2 | ||
| B、1 | ||
C、
| ||
| D、3 |