题目内容
给定一个数列{an}，在这个数列里，任取m（m≥3，m∈N*）项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列{an}的一个m阶子数列．
已知数列{an}的通项公式为an=
（n∈N*，a为常数），等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3子阶数列．
（1）求a的值；
（2）等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，且b1=
（k为常数，k∈N*，k≥2），求证：m≤k+1
（3）等比数列c1，c2，…，cm是{an}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，求证：c1+c1+…+cm≤2-
．
已知数列{an}的通项公式为an=
| 1 |
| n+a |
（1）求a的值；
（2）等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，且b1=
| 1 |
| k |
（3）等比数列c1，c2，…，cm是{an}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，求证：c1+c1+…+cm≤2-
| 1 |
| 2m-1 |
考点：数列的求和,等差数列的性质
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）利用等差数列的定义及其性质即可得出；
（2）设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d．由b1=
，可得b2≤
，再利用等差数列的通项公式及其不等式的性质即可证明；
（3）设c1=
（t∈N*），等比数列c1，c2，…，cm的公比为q．由c2≤
，可得q=
≤
．从而cn=c1qn-1≤
(
)n-1（1≤n≤m，n∈N*）．再利用等比数列的前n项和公式、函数的单调性即可得出．
（2）设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d．由b1=
| 1 |
| k |
| 1 |
| k+1 |
（3）设c1=
| 1 |
| t |
| 1 |
| t+1 |
| c2 |
| c1 |
| t |
| t+1 |
| 1 |
| t |
| t |
| t+1 |
解答：
（1）解：∵a2，a3，a6成等差数列，
∴a2-a3=a3-a6．
又∵a2=
，a3=
，a6=
，
代入得
-
=
-
，解得a=0．
（2）证明：设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d．
∵b1=
，∴b2≤
，
从而d=b2-b1≤
-
=-
．
∴bm=b1+（m-1）d≤
-
．
又∵bm＞0，∴
-
＞0．
即m-1＜k+1．
∴m＜k+2．
又∵m，k∈N*，∴m≤k+1．
（3）证明：设c1=
（t∈N*），等比数列c1，c2，…，cm的公比为q．
∵c2≤
，∴q=
≤
．
从而cn=c1qn-1≤
(
)n-1（1≤n≤m，n∈N*）．
∴c1+c2+…+cm≤
+
(
)1+
(
)2+…+
(
)m-1
=
[1-(
)m]，
设函数f（x）=x-
，（m≥3，m∈N*）．
当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=x-
为单调增函数．
∵当t∈N*，∴1＜
≤2．∴f（
）≤2-
．
即 c1+c2+…+cm≤2-
．
∴a2-a3=a3-a6．
又∵a2=
| 1 |
| 2+a |
| 1 |
| 3+a |
| 1 |
| 6+a |
代入得
| 1 |
| 2+a |
| 1 |
| 3+a |
| 1 |
| 3+a |
| 1 |
| 6+a |
（2）证明：设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d．
∵b1=
| 1 |
| k |
| 1 |
| k+1 |
从而d=b2-b1≤
| 1 |
| k+1 |
| 1 |
| k |
| 1 |
| k(k+1) |
∴bm=b1+（m-1）d≤
| 1 |
| k |
| m-1 |
| k(k+1) |
又∵bm＞0，∴
| 1 |
| k |
| m-1 |
| k(k+1) |
即m-1＜k+1．
∴m＜k+2．
又∵m，k∈N*，∴m≤k+1．
（3）证明：设c1=
| 1 |
| t |
∵c2≤
| 1 |
| t+1 |
| c2 |
| c1 |
| t |
| t+1 |
从而cn=c1qn-1≤
| 1 |
| t |
| t |
| t+1 |
∴c1+c2+…+cm≤
| 1 |
| t |
| 1 |
| t |
| t |
| t+1 |
| 1 |
| t |
| t |
| t+1 |
| 1 |
| t |
| t |
| t+1 |
=
| t+1 |
| t |
| t |
| t+1 |
设函数f（x）=x-
| 1 |
| xm-1 |
当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=x-
| 1 |
| xm-1 |
∵当t∈N*，∴1＜
| t+1 |
| t |
| t+1 |
| t |
| 1 |
| 2m-1 |
即 c1+c2+…+cm≤2-
| 1 |
| 2m-1 |
点评：本题考查了利用等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
| 3-i |
| 1+i |
| A、第一象限 | B、第二象限 |
| C、第三象限 | D、第四象限 |
已知A={x|x2-4x-5=0}，B={x|x2=1}，则A∩B=（ ）
| A、{1} |
| B、{1，-1，5} |
| C、{-1} |
| D、{1，-1，-5} |
