Question

已知函数f（x）=2lnx+

a

x2

（a＞0），若当x∈（0，+∞）时，f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：转化思想,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由参数分离可得当x∈（0，+∞）时，a≥2x²（1-lnx），令g（x）=2x²（1-lnx），求出导数，求得单调区间和极值、最值，令a不小于最大值即可．

解答： 解：当x∈（0，+∞）时，f（x）≥2恒成立，
即有2lnx+

a

x2

≥2，即为a≥2x²（1-lnx），
令g（x）=2x²（1-lnx），g′（x）=2x（1-2lnx），
当0＜x＜

e

时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当x＞

e

时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有x=

e

处g（x）取得极大值，也为最大值，且为e．
则有a≥e．
即有a的取值范围为[e，+∞）．

点评：本题考查函数恒成立问题转化为求函数的最值，主要考查导数的运用：求极值和最值，运用参数分离构造函数是解题的关键．