Question

已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=2^（x-1）．
（Ⅰ）当x＜0时，求f（x）解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，m]（m＞-1）时，求f（x）取值的集合．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）设x＜0，根据x≥0时的解析式求出f（-x），根据函数f（x）为偶函数，便可求得x＜0时的解析式，这样在R上的f（x）解析式就求出来了；
（Ⅱ）讨论m，找到x∈[-1，m]时的解析式f（x），求f′（x），根据f′（x）的符号即可判断函数在[-1，m]上的单调性，根据f（x）的单调性即可求出f（x）取值的集合．

解答： 解：（Ⅰ）设x＜0，则-x＞0，并且f（x）是偶函数，∴f（-x）=2^-x-1=f（x）；
∴f（x）=2^-x-1；
∴f(x)=

2x-1 x≥0 2-x-1 x＜0

；
（Ⅱ）①当m＜0时，f（x）=2^-x-1，f′（x）=-2^-x-1ln2＜0；
∴函数f（x）在[-1，m]上为减函数，∴f（x）∈[f（m），f（-1）]=[2^-m-1，1]；
②当m=0时，x∈[-1，0）时，f（x）=2^-x-1，由①知函数f（x）在[-1，0）上单调递减；
∴f（x）∈（f（0），f（-1））=（

1

2

，1]；
x=0时，f（0）=

1

2

；
∴m=0时，f（x）取值的集合是{f（x）|

1

2

≤f（x）≤1}
③当m＞0时，由②知x∈[-1，0）时，f（x）∈（

1

2

，1]；
x∈[0，m]时，f（x）=2^x-1，f′（x）=2^x-1ln2＞0，∴函数f（x）在[0，m]上单调递增；
∴f（x）∈[f（0），f（m）]=[

1

2

，2^m-1]；
∴m＞0时，f（x）取值的集合是[

1

2

，2m-1]．

点评：本题考查根据奇偶性求函数解析式的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及根据函数单调性求函数值域的方法，并注意对m的讨论．