Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB．
（1）求B的大小；
（2）求sin²A+sin²C的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a=bcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB，利用正弦定理可得sinA=sinBcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，化简整理即可得出；
（2）sin²A+sin²C=$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos2C}{2}$═1-$\frac{1}{2}$cos$（\frac{π}{3}+2C）$，由C∈$（0，\frac{2π}{3}）$，可得$（\frac{π}{3}+2C）$∈$（\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}）$，即可的．

解答 解：（1）∵a=bcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB，∴sinA=sinBcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，sinC≠0，
化为cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB，
化为tanB=$\sqrt{3}$，B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）sin²A+sin²C=$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos2C}{2}$
=1-$\frac{1}{2}$×2cos（A+C）cos（A-C）
=1+$\frac{1}{2}$cos（A-C）
=1-$\frac{1}{2}$cos$（\frac{π}{3}+2C）$，
∵C∈$（0，\frac{2π}{3}）$，
∴$（\frac{π}{3}+2C）$∈$（\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}）$．
∴$cos（\frac{π}{3}+2C）$∈$[-1，\frac{1}{2}）$，
∴1-$\frac{1}{2}$cos$（\frac{π}{3}+2C）$∈$（\frac{3}{4}，\frac{3}{2}]$，
∴sin²A+sin²C的取值范围是$（\frac{3}{4}，\frac{3}{2}]$．

点评 本题考查了正弦定理、倍角公式、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．