Question

9．下列说法中
①命题“每个指数函数都是单调函数”是全称命题，而且是真命题；
②若m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n与α相交；
③设定点F₁（0，-3），F₂（0，3），动点P（x，y）满足条件|PF₁|+|PF₂|=2a（a＞0），则动点P的轨迹是椭圆；
④若实数k满足0＜k＜9，则曲线$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9-k}$=1与曲线$\frac{{x}^{2}}{25-k}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同的焦点．
其中正确的为①④．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 由指数函数的图象和性质，可判断①；由直线与平面位置关系的几何特征，可判断②；根据椭圆的定义，可判断③；根据双曲线的简单性质，可判断④．

解答 解：①命题“每个指数函数都是单调函数”可化为：“?函数f（x）=a^x，（a＞0，且a≠1），f（x）为单调函数”，是全称命题，而且是真命题，故正确；
②若m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n与α相交，或n与α平行，故错误；
③设定点F₁（0，-3），F₂（0，3），动点P（x，y）满足条件|PF₁|+|PF₂|=2a（a＞3），则动点P的轨迹是椭圆，故错误；
④若实数k满足0＜k＜9，则曲线$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9-k}$=1与曲线$\frac{{x}^{2}}{25-k}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点均为（±$\sqrt{34-k}$，0），故正确；
故答案为：①④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的图象和性质，直线与平面位置关系，圆锥曲线的定义和性质，难度中档．