Question

从1，2，3，…，20这20个自然数中，每次任取3个数．
（1）若3个数能组成等差数列，则这样的等差数列共有

 

个；若组成等比数列，则这样的等比数列共有

 

个；
（2）若3个数的和是3的倍数，则这样的数组有

 

个；若其和是大于10的偶数，则这样的数组有

 

个；
（3）若所取3个数中每2个数之间至少相隔2个自然数，则这样的数组有

 

个．

Answer 1

考点：等差数列的性质,等比数列的性质

专题：排列组合

分析：（1）采用分类计数原理和组合数的意义即可求解；
（2）将20个数分为3组，3的倍数，3的倍数加1，3的倍数加2，分类计数即可确定3个数的和是3的倍数的数组；
（3）建立22个小球模型，采用捆绑插空法即可解决．

解答： 解：（1）设A={1，3，5，…，19}，B={2，4，…，20}，
从A或B中任取两个数总可作等差数列的第一、二项，且等差中项唯一存在，
∴所求的等差数列共有2（

C

2 10

+

C

2 10

）=180个．
用列举法：公比是3或

1

3

的等比数列有4个；
公比是2或

1

2

的等比数列有10个；
公比是4或

1

4

的等比数列有2个，共有等比数列16个．
（2）设A₀={3，6，…，18}，A₁={1，4，…，19}，A₂={2，5，…，20}，
则从每个集合中任取3个数，或每个集合中各取1个数，
其和必是3的倍数，
故所求的数组共有

C

3 6

+2

C

3 7

+

C

1 6

C

1 7

C

1 7

=384个．
又设A={1，3，5，…，19}，B={2，4，…，20}，
则从中取3个数且和为偶数的取法有

C

3 10

+

C

1 10

C

2 10

=570种，
其中3个数的和不大于10的有6个．
故符合条件的数组共有570-6=564个．
（3）运用如下模型：将3个黑球与19个白球排成一排，
且每个黑球右边各连排两个白球分别形成一个“位置”，
这样只有13个白球与3个“黑白球组合”排在16个“位置”上，排法有

C

3 16

，
对每种排法中的前20个球从左至右赋值1，2，…，20，
则三个黑球上的数即为取出的数，
∴所取的数组共有

C

3 16

=560个．
故答案为：（1）180，16；（2）384，564；（3）560．

点评：本题考查等差数列和等比数列的概念，排列组合的综合应用，解题的关键在能够正确的利用分布计数原理和转化的思想，属于难题．