Question

已知函数f（x）=asinx+cosx，a为是常数，x∈R．
（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）当a=

3

，x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用函数奇偶性的定义分别通过f（-x）=f（x）与f（-x）=-f（x），求得a．
（2）利用两角和公式对函数解析式化简，根据x的范围和正弦函数的性质求得函数的值域．

解答： 解：（1）f（-x）=-asinx+cosx=f（x）
即-asinx+cosx=asinx+cosx，
∴2asinx=0，
∴a=0，
∴当a=0时，f（x）是偶函数． 
由f（-x）=-f（x）
∴-asinx+cosx=-asinx-cosx，
∴2cosx=0，
仅对x-kπ+

π

2

，k∈Z成立，
∴f（x）是不是奇函数．
综上：当a=0时，f（x）是偶函数；当a≠0时，f（x）是非奇非偶函数．
（2）当a=

3

时，f(x)=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)，
由x∈[0，

π

2

]，得

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

，

1

2

≤sin(x+

π

6

)≤1．
∴f（x）∈[1，2]．

点评：本题主要考查函数的奇偶性，三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．要求学生对三角函数基础知识能熟练记忆并灵活运用．