Question

已知圆M：（x+

5

）²+y²=36，N（

5

，0），点P是圆M上的任意一点，线段NP的垂直平分线和半径MP相较于点Q．
（Ⅰ）当点P在圆M上运动时，求点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若圆x²+y²=4的切线与曲线C相交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出|QM|+|QN|=6，由椭圆定义得动点Q的轨迹是椭圆，由此能求出点Q的轨迹C的方程．
（Ⅱ）设切线方程为x=ty+m，由

|m|

1+t2

=2，得m²=4（1+t²），由

x=ty+m x2 9 + y2 4 =1

，得：（4t²+9）y²+8tmy+4m²-36=0，由此利用弦长公式和均值定理能求出△AOB的面积最大值为3．

解答： 解：（Ⅰ）由已知条件得|QN|=|QP|，又是|QM|+|QP|=6，
∴|QM|+|QN|=6，
根据椭圆定义得动点Q的轨迹是椭圆，
且2a=6，a=3，c=

5

，b=2，
∴点Q的轨迹C的方程为：

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）∵直线l不可能与x轴平行，∴设切线方程为x=ty+m，
由

|m|

1+t2

=2，得m²=4（1+t²），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=ty+m x2 9 + y2 4 =1

，消去x得：（4t²+9）y²+8tmy+4m²-36=0，
△=（8tm）²-4（4t²+9）（4m²+36）=144（4t²-m²+9）=144×5，
|AB|=

1+t2

|y₁-y₂|=

1+t2

•

12 5

4t2+9

=

12 5

4 1+t2 + 5 1+t2

≤

12 5

4 5

=3，
当且仅当t²=

1

4

等号成立，此时|m|=

5

，|AB|_max=3，
又∵S_△AOB=

1

2

×2×|AB|=|AB|，
∴|m|=

5

，|t|=

1

2

时，△AOB的面积最大，最大值为3．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．