题目内容
已知向量
=（1+sin2x，sinx-cosx），
=（1，sinx+cosx），函数f（x）=
•
．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值及相应x的值；
（3）若f（θ）=
，求cos2（
-2θ）的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值及相应x的值；
（3）若f（θ）=
| 8 |
| 5 |
| π |
| 4 |
考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,三角函数的最值
专题：三角函数的求值
分析：（1）由数量积和三角函数公式可得f(x)=
•
=1+
sin(2x-
)，由周期公式可得；
（2）由三角函数的最值可得当2x-
=2kπ+
，即x=kπ+
（k∈Z）时f(x)max=1+
；
（3）由条件可得sin(2θ-
)=
，由诱导公式和二倍角公式可得．
| a |
| b |
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）由三角函数的最值可得当2x-
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| 2 |
（3）由条件可得sin(2θ-
| π |
| 4 |
3
| ||
| 10 |
解答：
解：（1）∵
=（1+sin2x，sinx-cosx），
=（1，sinx+cosx），
∴f(x)=
•
=1+sin2x-cos2x
=1+
sin(2x-
)
∴f（x）的最小正周期T=
=π；
（2）由（1）得当2x-
=2kπ+
，即x=kπ+
（k∈Z）时f(x)max=1+
；
（3）∵f(θ)=
，∴sin(2θ-
)=
，
∴cos2(
-2θ)=cos2(2θ-
)=1-2sin2(2θ-
)=
．
| a |
| b |
∴f(x)=
| a |
| b |
=1+
| 2 |
| π |
| 4 |
∴f（x）的最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
（2）由（1）得当2x-
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| 2 |
（3）∵f(θ)=
| 8 |
| 5 |
| π |
| 4 |
3
| ||
| 10 |
∴cos2(
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 16 |
| 25 |
点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和诱导公式，属基础题．
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