Question

【题目】抛物线：上的点到其焦点的距离是.

（1）求的方程．

（2）过点作圆：的两条切线，分别交于两点，若直线的斜率是，求实数的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1

【解析】分析：第一问利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到其准线的距离，列出等量关系式，求得p的值，进而求得抛物线的方程；第二问先设出抛物线上的两个点的坐标，应用两点斜率坐标公式，求得，利用点M的坐标，得到两条切线的斜率，之后应用过圆外一点作圆的切线，设其斜率为k，利用圆心到切线的距离等于半径，得到关于k的方程，应用两根和得到，进一步求得结果.

详解：（1）的准线是，根据抛物线定义有，．

故的方程是．

（2）设，，则，所以

因为，所以斜率，同理斜率，所以．

可设经过点的圆切线方程是，即，则，得，故．

因此，．