Question

【题目】已知函数.

(1)求证：方程有实根；

(2)在上是单调递减函数，求实数的取值范围；

(3)当时，关于的不等式的解集为空集，求所有满足条件的实数的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】分析：（1）要证的实根，设，也就是证明方程有非负实数根，而，故可设的两根为，利用根据与系数的关系，即可求解；

（2）由题设值对任意的时，恒成立，对分类讨论，对任意的，集合函数的单调性即可求出实数的取值范围；

（3）由题意知，当时，恒成立，记，对分类：若，则，从而求出满足条件的实数的值．

详解：(1)要证x4－2ax2－1＝0有实根，也就是证明方程t2－2at－1＝0有非负实数根．

而Δ＝4a2＋4>0，故可设t2－2at－1＝0的两根为t1、t2.

t1t2＝－1<0，∴t1、t2一正一负．

∵方程t2－2at－1＝0有正根，

∴方程f(x)＝1有实根．

(2)由题设知对任意的x∈[0,1]，

h′(x)＝f ′(x)－1＝4x3－4ax－1≤0恒成立，x＝0时显然成立；

对任意的0<x≤1，a≥x2－，∴a≥(x2－)max，

而g(x)＝x2－在(0,1]上单调递增，∴a≥g(1)＝，∴a的取值范围为[，＋∞)．

(3)由题设知，当x∈[0,1]时，|4x3－4ax|≤1恒成立．记F(x)＝4x3－4ax，

方法1：若a≤0，则F(1)＝4－4a≥4，不满足条件；

故a>0，而

①当<1即0<a<3时，F(x)在[0，]上递减，在[，1]上递增，

于是，解得a＝.

②当≥1，即a≥3时，F(x)在[0,1]上递减，于是|F(x)|max＝－F(1)＝4a－4≥8，

与题意矛盾．

综上所述a＝.

方法2：(分离参数法)因为|4x3－4ax|≤1，所以－1≤4x3－4ax≤1，x＝0时显然成立；

对任意的

由(2)知且时取等号)，