Question

已知f（x）是定义在R上奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²-6x-3
（1）求f（x）的解析式
（2）当t＜-1时，求函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当x＜0时，-x＞0，利用f（x）=-f（-x）可求f（x）；
（2）由题意可得函数f（x）[t，t+1]上f（x）=x²-6x-3=（x-3）²-12，图象开口向上且关于x=3对称，得到函数在已知区间的单调性，从而求最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）对任意的x都成立，∴f（0）=0；
又x＞0时，f（x）=x²-6x-3．
∴x＜0时，-x＞0，f（-x）=（-x）²-6（-x）-3=x²+6x-3=-f（x），所以x＜0时，f（x）=-x²-6x+3，
∴f（x）的解析式为：f（x）=

x2-6x-3，x＞0 0，x=0 -x2-6x-3，x＜0

；
（2）由题意可得函数f（x）[t，t+1]上f（x）=x²-6x-3=（x-3）²-12，图象开口向上且关于x=3对称，

因为t＜-1，所以t+1＜0，所以函数f（x）在[t，t+1]上单调递减，所以函数f（x）在[t，t+1]最大值为f（t）=t²-6t-3．

点评：本题考查了函数解析式的求法以及二次函数在闭区间的最值的求法，是经常考查的题型．