题目内容
已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2，则过点（2，2）能作几条直线与曲线y=f（x）相切？（ ）
| A、0 | B、1 | C、2 | D、3 |
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：计算题,导数的概念及应用
分析：先求函数f（x）的解析式，只须求出切线斜率的值，f（1），列出方程组即可；设过点（2，2）的直线与曲线y=f（x）相切于点（t，f（t）），可得切线方程为y=（3t2-1）x-2t3，由切线过点（2，2）得：t3-3t2+2=0，从而问题转化为方程t3-3t2+2=0的实根个数，利用导数法可求．
解答：
解：f（x）的导数f′（x）=3ax2+b，
由于y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2，
则
，即
，解得
，
即有f（x）=x3-x，
设过点（2，2）的直线与曲线y=f（x）相切于点（t，f（t）），
则切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t），
即y=（3t2-1）x-2t3
由切线过点（2，2）得：2=（3t2-1）•2-2t3，
过点（2，2）可作曲线y=f（x）的切线条数就是方程t3-3t2+2=0的实根个数，
令g（t）=t3-3t2+2，则g′（t）=3t（t-2）
由g′（t）=0得t1=0，t2=2
当t变化时，g（t）、g′（t）的变化如下表
由g（0）•g（2）=-4＜0知，故g（t）=0有三个不同实根可作三条切线．
故选D．
由于y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2，
则
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即有f（x）=x3-x，
设过点（2，2）的直线与曲线y=f（x）相切于点（t，f（t）），
则切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t），
即y=（3t2-1）x-2t3
由切线过点（2，2）得：2=（3t2-1）•2-2t3，
过点（2，2）可作曲线y=f（x）的切线条数就是方程t3-3t2+2=0的实根个数，
令g（t）=t3-3t2+2，则g′（t）=3t（t-2）
由g′（t）=0得t1=0，t2=2
当t变化时，g（t）、g′（t）的变化如下表
| t | （-∞，0） | 0 | （0，2） | 2 | （2，+∞） |
| g′（t） | + | 0 | - | 0 | + |
| g（t） | ↗ | 极大值2 | ↘ | 极小值-2 | ↗ |
故选D．
点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．
练习册系列答案
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| A、[-2，2] |
| B、[0，2] |
| C、[-2，0）∪（0，2] |
| D、[0，16] |
经过点（1，-3），且倾斜角的正切值为-
的直线的方程是（ ）
| 4 |
| 3 |
| A、4x-3y-10=0 |
| B、4x+3y+2=0 |
| C、4x+3y=0 |
| D、4x+3y+5=0 |
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| A、第一象限 | B、第二象限 |
| C、第三象限 | D、第四象限 |
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| x-lnx+a |
| A、[-1，2+ln2] |
| B、（0，2+ln2] |
| C、[-1，e2-e+1） |
| D、（0，e2-e+1） |