Question

已知函数f（x）+1=

1

f(x+1)

，当x∈[0，1]时，f（x）=x．若在区间x∈（-1，1]内，g（x）=f（x）-mx-m有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ]
• B、[

  1

  2

  ，+∞）
• C、[0，

  1

  3

  ）
• D、[0，

  1

  2

  ）

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：求出f（x）的解析式，把在区间x∈（-1，1]内，g（x）=f（x）-mx-m有两个零点，
转化为m=

f(x)

x+1

有2个解，令k（x）=

f(x)

x+1

，作出图象，运用图象的交点判断零点个数，
得出参变量m的取值范围．

解答： 解：∵f（x）+1=

1

f(x+1)

，
∴数f（x）=

1

f(x+1)

-1，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=x．
∴当x∈[-1，0]时，f（x）=

1

f(x+1)

-1=

1

x+1

-1，
∵∴f（x）=m（x+1）有2个解
即m=

f(x)

x+1

有2个解
令k（x）=

f(x)

x+1

，
则k（x）=

1 (x+1)2 -1，-1≤x＜0 1- 1 x+1 ，0≤x≤1

k（x）图象如下：

k（1）=

1

2

，
∴k（x）=

f(x)

x+1

，与y=m有2个交点时，0＜m≤

1

2

∴g（x）=f（x）-mx-m有两个零点，则实数m的取值范围为：（0，

1

2

]，
故选：A

点评：本题综合考察了函数的图象的交点，函数的零点，方程的根的关系，考察了数形结合的思想．