Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
（2）在（1）的条件下，求直线PC与平面ABE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标得出$\overrightarrow{BE}$和$\overrightarrow{PD}$的坐标，通过计算$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PD}$=0得出BE⊥PD；
（2）由（1）可知$\overrightarrow{PD}$为平面ABE的一个法向量，求出$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{PD}$的夹角＜$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PD}$＞，则直线PC与平面ABE所成角为$\frac{π}{2}$-＜$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PD}$＞．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA为PD与底面ABCD所成的角，即∠PDA=30°，
∴PA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$，AE=a，∠DAE=60°，
以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz如图所示：
则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，2a，0），E（0，$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$），P（0，0，$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$）．
∴$\overrightarrow{BE}$=（-a，$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，2a，-$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$）．
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PD}$=-a×0+$\frac{a}{2}$×2a+$\frac{\sqrt{3}a}{2}$×（-$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$）=0．
∴BE⊥PD．
（2）∵PD⊥BE，PD⊥AE，AE?平面ABE，BE?平面ABE，AE∩BE=E，
∴PD⊥平面ABE，∴$\overrightarrow{PD}$为平面ABE的一个法向量．
∵$\overrightarrow{PC}$=（a，a，-$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$），∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=$\frac{10{a}^{2}}{3}$，|$\overrightarrow{PC}$|=$\frac{\sqrt{30}a}{3}$，|$\overrightarrow{PD}$|=$\frac{4\sqrt{3}a}{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PD}$＞=$\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴直线PC与平面ABE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴直线PC与平面ABE所成角的余弦值为$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．