Question

13．在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，PA=AB=2CD=4，$PB=2AD=4\sqrt{2}$，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PC-D的余弦值；
（3）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求$\frac{PQ}{PB}$的值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{PC}$的坐标，通过计算数量积证明BD⊥AP，BD⊥PC，于是BD⊥平面PAC；
（2）求出平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，计算cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BD}$＞，于是二面角A-PC-D的余弦值等于cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BD}$＞；
（3）设$\overrightarrow{PQ}=λ\overrightarrow{PB}$，求出$\overrightarrow{QC}$的坐标，则|cos＜$\overrightarrow{QC}$，$\overrightarrow{BD}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．解方程得出λ即$\frac{PQ}{PB}$的值．

解答 证明：（1）∵$PA=4，AB=4，PB=4\sqrt{2}$，
∴PA²+AB²=PB²，即PA⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA?平面PAB，
∴PA⊥平面ABCD，又∵AB⊥AD，
∴AB，AD，PA两两垂直，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），$B（4，0，0），C（2，2\sqrt{2}，0），D（0，2\sqrt{2}，0），P（0，0，4）$
∴$\overrightarrow{BD}=（-4，2\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{PC}=（2，2\sqrt{2}，-4）$，$\overrightarrow{AP}$=（0，0，4）．
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{PC}=0$，$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AP}$=0，
∴BD⊥PC，BD⊥AP，
又PA?平面PAC，PC?平面PAC，PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC．
（2）∵BD⊥平面PAC，∴$\overrightarrow{BD}$是平面PAC的一个法向量，
$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{CD}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+2\sqrt{2}y-4z=0}\\{-2x=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}$=4，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{BD}$|=2$\sqrt{6}$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴二面角A-PC-D的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（3）$\overrightarrow{PB}$=（4，0，-4），设$\overrightarrow{PQ}=λ\overrightarrow{PB}$=（4λ，0，-4λ），则$\overrightarrow{QC}$=$\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PQ}$=（2-4λ，2$\sqrt{2}$，4λ-4）．
∴$\overrightarrow{QC}•\overrightarrow{BD}$=16λ-8+8=16λ．|$\overrightarrow{QC}$|=2$\sqrt{8{λ}^{2}-12λ+7}$．
∵直线QC与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{QC}，\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{\overrightarrow{QC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{QC}||\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{16λ}{2\sqrt{8{λ}^{2}-12λ+7}•2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得λ=$\frac{7}{12}$．
∴$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{7}{12}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．