题目内容

8．为了解某市市民的节能意识及行为习惯等情况，某机构在市区范围内进行了一次有关市民节能意识及行为习惯的测试，将所有参加者的笔试成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，绘制成如下的频数分布表：
 分数（分数段） 频数（人数）
[60，70） 9
[70，80） 19
[80，90） 16
[90，100] 6
 合计 50
（1）若采用分层抽样的方法从分数在[60，70）内和[90，100]内的参加者中抽取5人做问卷调查，求这5人中分数在[90，100]内的人数；
（2）在（1）的条件，从抽取的5人中再随机选取3人进行跟踪调查，记分数在[60，70）内的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

分析 （1）分数在[60，70）内的学生人数为9人，分数在[90，100]内的学生人数为6人，由此能求出采用分层抽样的方法从分数在[60，70）内和[90，100]内的参加者中抽取5人做问卷调查，这5人中分数在[90，100]内的人数．
（2）由题意X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．

解答 解：（1）分数在[60，70）内的学生人数为9人，
分数在[90，100]内的学生人数为6人，
采用分层抽样的方法从分数在[60，70）内和[90，100]内的参加者中抽取5人做问卷调查，
这5人中分数在[90，100]内的人数为：6×$\frac{5}{9+6}$=2（人）．
（2）由（1）得抽取的5人中有3人分数在[60，70）内，∴X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{6}{10}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
∴随机变量X的分布列为：

 X 1 2 3
 P $\frac{3}{10}$ $\frac{6}{10}$ $\frac{1}{10}$
EX=$1×\frac{3}{10}+2×\frac{6}{10}+3×\frac{1}{10}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查分层抽样方法的应用，考查离散型随机变量的分布列的应用，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．

练习册系列答案
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