Question

7．已知f（x）是定义在D上的函数，若f（x）满足：（1）对任意x∈D及任意正实数t，若x+t∈D，都有f（x+t）≥f（x）；（2）存在正实数M，使得|f（x）|≤M，则称f（x）为“单限行函数”，满足|f（x）|≤M的最小正数M叫f（x）的“单限峰值”给出下列结论：
①f（x）=2016（x∈[-1，2]）是“单限行函数”；
②f（x）=xsinx+cosx（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）是“单限行函数”，且“单限峰值”为1；
③若f（x）=x³-12x（x∈[m，m+2]）是“单限行函数”，则-4＜m＜2；
④f（x）是定义在D上的“单限行函数”，若f（x₁）=f（x₂），则x₁=x₂
其中正确结论的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据“单限行函数”的定义分别判断函数的单调性和最值即可得到结论．

解答 解：①若f（x）=2016（x∈[-1，2]），
则f（x+t）=f（x）=2016，则f（x+t）≥f（x）恒成立；且|f（x）|=2016，且当M≥2016时，|f（x）|≤M成立，则f（x）是“单限行函数”；故①正确，
②f（x）=xsinx+cosx（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），
则f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xsinx≥0，则函数f（x）为增函数，
则f（x+t）≥f（x）恒成立，
f（0）=1，f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，则|f（x）|≤$\frac{π}{2}$，即函数f（x）是“单限行函数”，且“单限峰值”为$\frac{π}{2}$，故②错误；
③f′（x）=3x²-12=3（x²-4），
由f′（x）＞0得x＞2或x＜-2，由f′（x）＜0得-2＜x＜2，
当m=2时，函数f（x）在[2，4]上增函数，满足f（x+t）≥f（x），
此时函数的最小值为f（2）=-16，最大值f（2）=16，则|f（x）|≤16，
m=2时，f（x）=x³-12x（x∈[2，4]）是“单限行函数”，则-4＜m＜2错误；故③错误，
④f（x）是定义在D上的“单限行函数”，若f（x₁）=f（x₂），则x₁=x₂，不一定成立，比如①f（x）=2016（x∈[-1，2]），故④错误，
故选：A

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和最值的判断，正确理解新定义是解决本题的关键．