Question

12．已知函数f（x）=x²+nx+m，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，则m+n的取值范围是[0，4）．

Answer 1

分析 由{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}可得f（0）=0，从而求得m=0；从而化简f（f（x））=（x²+nx）（x²+nx+n）=0，从而讨论求得．

解答 解：设x₁∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
∴f（x₁）=f（f（x₁））=0，
∴f（0）=0，
即f（0）=m=0，
故m=0；
故f（x）=x²+nx，
f（f（x））=（x²+nx）（x²+nx+n）=0，
当n=0时，成立；
当n≠0时，0，-n不是x²+nx+n=0的根，
故△=n²-4n＜0，
故0＜n＜4；
综上所述，0≤n+m＜4；
故答案为：[0，4）．

点评 本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．